Question

已知函數(shù)f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=2a²有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2的形式，令t=2^x-2^-x，則f（x）可看作關(guān)于t的二次函數(shù)，并根據(jù)x的范圍求出t的范圍，再利用二次函數(shù)求最值的方法求出f（x）的最小值．
（2）關(guān)于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0把t與a分離，得到2a=t+

2

t

，則只需求出t+

2

t

的范圍，即可求出a的范圍，再借助t+

2

t

型的函數(shù)的單調(diào)性求范圍即可．

解答：解：（1）f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a²=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2
令t=2^x-2^-x，則當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，t關(guān)于x的函數(shù)是單調(diào)遞增
∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，此時(shí)f（x）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2
當(dāng)a＜-

3

2

時(shí)，f(x)min=f(-

3

2

)=2a2+3a+

17

4

當(dāng)-

3

2

≤a≤

3

2

時(shí)，f（x）_min=a²+2
當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，f(x)min=f(

3

2

)=2a2-3a+

17

4

．
（2）方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0
∴2a=t+

2

t

，可證明t+

2

t

在(0，

2

)上單調(diào)遞減，(

2

，

3

2

)上單調(diào)遞增t+

2

t

≥2

2

t+

2

t

為奇函數(shù)，
∴當(dāng)t∈(-

3

2

，0)時(shí)t+

2

t

≤-2

2

∴a的取值范圍是(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了二次函數(shù)與其它函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的最值的求法，以及t+

2

t

型的函數(shù)的單調(diào)性的判斷．