已知函數(shù)f（x）=x3-3x．
（Ⅰ）求f（x）極值；
（Ⅱ）當x∈[0，a]（a＞0）時，求f（x）的最大值和最小值．

解：
（I）∵f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，
∴f（-1）=2，f（1）=-2，
且函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)減，在（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)增，
故極大值為2，極小值為-2；
（II）當a∈（0，1]時，由（1）得：
最大值為0；最小值為a3-3a，
同理，當a∈（1，]時：最大值為0；最小值為-2
當a∈（，+∞）時：最大值為a3-3a；最小值為-2
分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的極值；
（II）先對函數(shù)f（x）求導，然后令導數(shù)為0，求出x的值，分別求出f（x）在拐點及x=0和x=a時的值，通過比較即可得出答案．
點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導數(shù)與方程的綜合題，需要對參數(shù)進行分類討論，關(guān)鍵是通過求導的方法求函數(shù)的最值，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案