Question

拋物線D以雙曲線C：8y²-8x²=1的焦點(diǎn)F（0，c），（c＞0）為焦點(diǎn)．
（1）求拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過直線l：y=x-1上的動點(diǎn)P作拋物線D的兩條切線，切點(diǎn)為A，B．求證：直線AB過定點(diǎn)Q，并求出Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若直線PQ交拋物線D于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，求出c值，從而得出，最后寫出拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求以A、B為切點(diǎn)的切線方程，再設(shè)出P（x，x-1），代入兩條切線方程，得x-1=xx₁-y₁．x-1=xx₂-y₂．故直線AB的方程為x-1=xx-y，過定點(diǎn)（1，1）
（3）先寫出直線PQ的方程y=（x-1）+1，代入拋物線方程 ，得關(guān)于x的一元二次方程，為利用韋達(dá)定理準(zhǔn)備條件，再設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），要證 =，只需證明 ，即2x₃x₄-（1+x）（x₃+x₄）+2x=0，最后利用韋達(dá)定理將x₃+x₄和x₃x₄代入即可得證．
解答：解：（1）由題意，c²=．
所以，拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2y．…（3分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，x-1），
由
拋物線D在點(diǎn)A處的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．…（4分）
而A點(diǎn)處的切線過點(diǎn)P（x，x-1），所以x-1=x₁x-y₁，
即（x₁-1）x+1-y₁=0．
同理，（x₂-1）x+1-y₂=0．
可見，點(diǎn)A，B在直線（x-1）x+1-y=0上．
令x-1=0，1-y=0，解得x=y=1
所以，直線AB過定點(diǎn)Q（1，1）…（6分）
（3）設(shè)P（x，x-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直線PQ的方程為y=．
由，消去y，
得x²-=0．
由韋達(dá)定理，x₃+x₄=．…（9分）
而|PM|•|QN|=|QM|•|PN|?

…（12分）
將x₃+x₄=代入方程（*）的左邊，得
（*）的左邊=-
=
=0．
因而有|PM|•|QN|=|QM|•|PN|．…（14分）
點(diǎn)評：本題考察了拋物線的切線方程，直線與拋物線相交的性質(zhì)，解題時要特別注意韋達(dá)定理在解題時的重要運(yùn)用，還要有較強(qiáng)的運(yùn)算推理能力