設(shè)函數(shù)F(x)=ex+sinx-ax.
(1)若x=0是F(x)的極值點(diǎn),求a的值;
(2)若x≥0時(shí),函數(shù)y=F(x)的圖象恒不在y=F(-x)的圖象下方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:(1)函數(shù)F(x)=ex+sinx-ax的導(dǎo)函數(shù)F′(x)=ex+cosx-a
∵x=0是F(x)的極值點(diǎn),∴F′(0)=1+1-a=0
解得a=2
又當(dāng)a=2時(shí),
x<0時(shí),F(xiàn)′(x)=ex+cosx-2<0,x>0時(shí)F′(x)=ex+cosx-2>0
∴x=0是F(x)的極小值點(diǎn)
∴a=2
(2)令φ(x)=F(x)-F(-x)=ex-e-x+2sinx-2ax
則φ′(x)=ex+e-x+2cosx-2a
令S(x)=φ′′(x)=ex-e-x-2sinx
∵S′(x)=ex+e-x-2cosx≥0當(dāng)x≥0時(shí)恒成立
∴函數(shù)S(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增
∴S(x)≥S(0)=0當(dāng)x≥0時(shí)恒成立
∴函數(shù)φ′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴φ′(x)≥φ′(0)=4-2a當(dāng)x≥0時(shí)恒成立
當(dāng)a≤2時(shí),φ′(x)≥0,函數(shù)φ(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,即φ(x)≥φ(0)=0
故a≤2時(shí),F(xiàn)(x)≥F(-x)恒成立
當(dāng)a>2時(shí),φ′(0)<0,又∵φ′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增
∴總存在x0∈(0,+∞),使得在區(qū)間[0,x0)上φ′(x)<0,導(dǎo)致φ(x)在[0,x0)上遞減,而φ(0)=0
∴當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),φ(x)<0,這與題意不符,∴a>2不合題意
綜上,a的取值范圍是(-∞,2]
分析:(1)先利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算計(jì)算函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)F′(x),再利用函數(shù)極值的意義,令F′(0)=0即可解得a的值
(2)若x≥0時(shí),函數(shù)y=F(x)的圖象恒不在y=F(-x)的圖象下方,即φ(x)=F(x)-F(-x)≥0在[0,+∞)上恒成立,考慮到φ(0)=0,故通過(guò)討論函數(shù)φ(x)的單調(diào)性可得a的范圍
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值間的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而解決不等式恒成立問(wèn)題,分類討論的思想方法
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設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2
(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
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(2)若函數(shù)y=|h(x)-a|-1=0有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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