Question

已知函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是x的正比例函數(shù)，g（x）是x的反比例函數(shù)，且φ（

1

3

）=16，φ（1）=8．
（1）求φ（x）的解析式，并指出定義域；
（2）試分別判斷函數(shù)φ（x）在（0，

15

3

]，[

15

3

，+∞）的單調(diào)性并證明；
（3）求φ（x）在（0，+∞）的值域．

Answer 1

分析：（1）可以根據(jù)題中f（x）是x的正比例函數(shù)，g（x）是x的反比例函數(shù)的條件設(shè)出函數(shù)φ（x）的表達(dá)式，再由待定系數(shù)法求出，進(jìn)而可得函數(shù)的定義域
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，設(shè)在定義域上任取兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，從而得到結(jié)論．
（3）結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)值的取值范圍，可得φ（x）在（0，+∞）的值域．

解答：解：設(shè)f（x）=mx（m是非零常數(shù)），g（x）=

n

x

（n是非零常數(shù)），
∴φ（x）=mx+

n

x

，
由φ（

1

3

）=16，φ（1）=8得

1 3 m+3n=16 m+n=8

，
解得

m=3 n=5

．
故φ（x）=3x+

5

x

． 其定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．
（2）函數(shù)φ（x）在（0，

15

3

]上單調(diào)遞減，在[

15

3

，+∞）上單調(diào)遞增，理由如下：
任取任取兩個(gè)數(shù)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0
則f（x₁）-f（x₂）=3x1+

5

x1

-3x2+

5

x2

=3（x₁-x₂）+

5(x2-x1)

x1•x2

=（x₁-x₂）

3x1•x2-5

x1•x2

當(dāng)x∈（0，

15

3

]時(shí)，3x₁•x₂-5＜0，則f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)φ（x）=3x+

5

x

在（0，

15

3

]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[

15

3

，+∞）時(shí)，3x₁•x₂-5＞0，則f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)φ（x）=3x+

5

x

在[

15

3

，+∞）上單調(diào)遞增
（3）由（2）中函數(shù)φ（x）在（0，

15

3

]上單調(diào)遞減，在[

15

3

，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=

15

3

時(shí)，函數(shù)取最小值2

15

，無最大值
故φ（x）在（0，+∞）的值域?yàn)閇2

15

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．