Question

已知數列a_n的前n項和為S_n，a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求數列a_n的通項公式；
（2）設bn=

Sn

2n

，如果對一切正整數n都有b_n≤t，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）由na_n+1=S_n+n（n+1）可得（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）（n≥2）
兩式相減可整理可得，a_n+1=a_n+2（n≥2），由a₁=2，可得a₂=S₁+2=4，a₂-a₁=2
故數列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數列，由等差數列的通項公式可求
（2）由（1）可求，S_n=n（n+1），bn=

Sn

2n

=

n(n+1)

2n

由數列的單調性可知，b_k≥b_k+1，b_k≥b_k-1，從而可求數列{b_n}的最大項，由b_n≤t恒成立可得t≥b_n的最大值，進而可求t的最小

解答：解：（1）∵na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）（n≥2）
兩式相減可得，na_n+1-（n-1）a_n=S_n-S_n-1+2n
即na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，（n≥2）
整理可得，a_n+1=a_n+2（n≥2）（*）
由a₁=2，可得a₂=S₁+2=4，a₂-a₁=2適合（*）
故數列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數列，由等差數列的通項公式可得，a_n=2+（n-1）×2=2n
（2）由（1）可得，S_n=n（n+1），
∴bn=

Sn

2n

=

n(n+1)

2n

由數列的單調性可知，b_k≥b_k+1，b_k≥b_k-1

k(k+1) 2k ≥ (k+2)(k+1) 2k+1 k(k+1) 2k ≥ k(k-1) 2k-1

解不等式可得2≤k≤3，k∈N^*，k=2，或k=3，
b₂=b₃=

3

2

為數列{b_n}的最大項
由b_n≤t恒成立可得t≥

3

2

，則t的最小值

3

2

點評：本題主要考查了由數列的遞推公式求解數列的通項公式，考查了等差數列的通項公式的應用，在數列中，恒成立的問題一般都轉化為求解數列的最值問題，而解決此類問題的關鍵是根據數列的單調性求解數列的最大（最�。╉梿栴}．