Question

（2010•鄭州三模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，tS_n-（2t+1）S_n-1=t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的公比為f（t）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n=f（

1

bn-1

）（n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若t=1，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，試比較a_n和T_n的大小關系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用tS_n-（2t+1）S_n-1=t，將條件變形，利用等比數(shù)列的定義證明

an+1

an

是常數(shù)．
（Ⅱ）利用條件，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的定義求通項公式．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的條件，求出a_n和T_n，然后利用作差法分別討論a_n和T_n的大小．

解答：解：（Ⅰ）當n≥2時，tS_n-（2t+1）S_n-1=t    ①
tS_n+1-（2t+1）S_n=t    ②
②-①得：ta_n+1-（2t+1）a_n=0，
∵t＞0∴an+1=

2t+1

t

an，
又當n=2時，由a₁=1，t（a₂+a₁）-（2t+1）a₁=t，得a₂=

2t+1

t

由于a_n≠0，

2t+1

t

≠0，所以對n∈N^*總有

an+1

an

=

2t+1

t

，
即數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為

2t+1

t

的等比數(shù)列．            （8分）
（Ⅱ）由（1）知f（t）=

2t+1

t

，則b_n=f（

1

bn-1

）=2+b_n-1，
又b₁=1，所以數(shù)列{b_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
故bn=2n-1，n∈N*                                   （12分）
（Ⅲ）由Ⅱ知，T_n=n+

n(n-1)

2

×2=n2．
若t=1，則等比數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為3，所以an=3n-1，
則Tn-an=n2-3n-1，
當n=1時，Tn-an=n2-3n-1=1-1=0，此時T_n=a_n．
當n=2時，Tn-an=n2-3n-1=22-3=1＞0，此時T_n＞a_n．
當n=3時，Tn-an=n2-3n-1=32-32=0，此時T_n=a_n．
當n=4時，Tn-an=n2-3n-1=42-33=-11＜0，此時T_n＜a_n．
當n＞4時，Tn-an=n2-3n-1＜0，此時恒有T_n＜a_n．
綜上當n=1或3時，T_n=a_n，當n=2時，T_n＞a_n，當n≥4時，T_n＜a_n．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和運算，以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式．考查學生的運算能力．