Question

（2012•湖北模擬）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=λa_n-1（λ，為常數(shù)，n=1，2，3…）．
（1）若a3=

a

2 2

，求λ的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)λ=2量，若數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b1=

2

3

，令cn=

an

(an+1)bn

，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=λa_n-1，知a1=

1

λ-1

，a2=

λ

(λ-1)2

，a3=

λ2

(λ-1)3

，再由a3=a22，能求出λ的值．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，故

2λ

(λ-1)2

=

1

λ-1

+

λ2

(λ-1)3

，由此能夠推導(dǎo)出不存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（3）當(dāng)λ=2時(shí)，S_n=2a_n-1，故S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，且a₁=1，所以an=2n-1，n∈N^*．由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b1=

2

3

，導(dǎo)出bn=

2n+1

2

，n∈N^*，所以cn=

2n-1

(2n-1+1)• 2n+1 2

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=λa_n-1，
∴a₁=λa₁-1，
a₂+a₁=λa₂-1，
a₃+a₂+a₁=λa₃-1，
由a₁=λa₁-1，得λ≠1，
∴a1=

1

λ-1

，a2=

λ

(λ-1)2

，a3=

λ2

(λ-1)3

，
∴a3=a22，∴

λ2

(λ-1)3

=

λ2

(λ-1)4

，
∴λ=0，或λ=2．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
則2a₂=a₁+a₃，
由（1）得

2λ

(λ-1)2

=

1

λ-1

+

λ2

(λ-1)3

，
∴

2λ

(λ-1)2

=

2λ2-2λ+1

(λ-1)3

，解得1=0，不成立，
∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（3）當(dāng)λ=2時(shí)，S_n=2a_n-1，
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，且a₁=1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，n≥2，
∴an=2n-1，n∈N^*．
∵b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b1=

2

3

，
∴b_n=a_n-1+b_n-1
=a_n-1+a_n-2+b_n-2
=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=2n-2+2n-3+…+1+

3

2

=

2n+1

2

，n≥2
當(dāng)n=1時(shí)，上式仍然成立，
∴bn=

2n+1

2

，n∈N^*，
∵cn=

an

(an+1)bn

，
∴cn=

2n-1

(2n-1+1)• 2n+1 2

=

2•2n-1

(2n-1+1)(2n+1)

．
=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=2（

1

2

-

1

2+1

+

1

2+1

-

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n

)
=1-

2

2n+1

=

2n-1

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查等差數(shù)列的判斷，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．