Question

已知：函數(shù)。
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若關于x的方程kf（x）=1恰有三個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍。

Answer 1

解：f（x）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
（1）當x>0時，-x ＜0，
∵f（x）=xlnx，f（-x）=-xlnx，
∴f（-x）=- f（x），
當x＜0時，-x >0，
∵f（x）= xln（-x），f（-x）=-xln（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)。
（2）當x>0時，f（x）=xlnx，
令f'（x）＜0，得
∴當時，f（x）為減函數(shù)
令f'（x）>0，得
∴當時，f（x）為增函數(shù)
又f（x）為奇函數(shù)，
∴當時，f（x）為減函數(shù)，
當時，f（x）為增函數(shù)
∴f（x）的單調減區(qū)間為和
單調增區(qū)間為和。
（3）原方程等價于，結合f（x）的圖象變化，由（2）知，
時f（x）由0遞減到
時f（x）由遞增到+∞
x∈時f（x）由-∞遞增到
時f（x）由遞減到0
∵方程恰有3個不同的根，
∴f（x）的圖象與的圖象應有3個不同的交點，
∴或
∴k＜-e或k>e。