Question

已知函數(shù)f（x）=lnx--2x（a≠0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)x，證明：f（x）≤-；
（3）若方程f（x）=3有兩個不相等的實(shí)根x₁，x₂，且x₁＜x₂，證明：f'（）≠0．（f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），故當(dāng)a≤-1時，f′（x）≥0，從而f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)-1＜a時，由導(dǎo)數(shù)等于0得，再利用導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間；
（2）由函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)x，可知ax²=1-2x，從而f（x）=lnx-．
設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求φ（x）的最大值，故得證；
（3）若f′（）=0，則-2=0．由方程f（x）=3有兩個不相等的實(shí)根x₁，x₂，則lnx₁-=3．故有l(wèi)n令．所以H′（t）=＞0，所以H（t）＞H（1）=0，從而，即可得結(jié)論．
解答：解：（1）f′（x）=．
若a≤-1時，則f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
若-1＜a＜0時，則f（x）在（0，，+∞）上是增函數(shù)，在（）上是減函數(shù)．
若a＞0時，則f（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)．…（4分）
（2）由f′（x）==0得：ax²=1-2x
∴f（x）=lnx-．
設(shè)φ（x）=lnx-x-（x）＞0．
當(dāng)x∈（1，+∞）時，φ′（x）＜0．
∴φ（x）的最大值為φ（1）=-．--------（9分）
（3）若f′（）=0，則-2=0．
∵lnx₁-=3．∴l(xiāng)n
令．
∴H′（t）=＞0∴H（t）＞H（1）=0
故∴，即f′（）≠0-----（14分）
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性求出函數(shù)的最值，掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用，有一定的難度