Question

數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過n=1，2，3，4，直接計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項(xiàng)公式an=

2n-1

2n-1

(n∈N*)；
（Ⅱ）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明．檢驗(yàn)n取第一個(gè)值時(shí)，等式成立，假設(shè)ak=

2k-1

2k-1

，證明．

解答：（本小題滿分8分）
解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=2-a₁，所以a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=s₂=2×2-a₂，所以a2=

3

2

．
同理：a3=

7

4

，a4=

15

8

．
由此猜想an=

2n-1

2n-1

(n∈N*)…（5分）
（Ⅱ）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊a₁=1，右邊=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，即ak=

2k-1

2k-1

，
那么n=k+1時(shí)，a_k+1=s_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1，
所以2a_k+1=2+a_k，所以ak+1=

2+ak

2

=

2+ 2k-1 2k-1

2

=

2k+1-1

2k

，
這表明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②知對一切n∈N^*猜想an=

2n-1

2n-1

成立．…（8分）

點(diǎn)評：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．