如圖，P是拋物線C：上一點，直線過點P且與拋物線C交于另一點Q．

(1)若直線與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

(2)若直線不過原點且與軸交于點S，與y軸交T，試求的取值范圍．

解：(1)設P(1,1),Q(2,2),M(0,0)，依題意

1≠0，1>0，2>0，由，得，

∴過點P的切線的斜率

∵1=0不合題意，∴1≠0

∴直線的斜率，直線的方程為

    聯(lián)立①②消去，得，

∵M為PQ的中點，

∴．

    消去，得

∴M的軌跡方程為

(2)設直線：

依題意，，則T(,)

分別過P、Q作PP’⊥軸，QQ’⊥軸，垂足分別為P’、Q’，

則

由消去，得=0．

    則

    ∴

=

∴、可取一切不相等的正數(shù)，

    ∴的取值范圍是(2，+∞)．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，P是拋物線C：y=
12
x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，P是拋物線C：y=
1
2
x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．
（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，P是拋物線C：y=
12
x2上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q．
（Ⅰ）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，P是拋物線C：y=
12
x2上橫坐標大于零的一點，直線l過點P并與拋物線C在點P處的切線垂直，直線l與拋物線C相交于另一點Q．當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線l過點P且與拋物線交于另一點Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經過點F，求弦長|PQ|的最小值；
（2）設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點S，與y軸交于點T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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