Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=

1

2

CD=1，PD⊥面ABCD，PD=

2

，E是PC的中點
（1）證明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點F，連結(jié)EF、AF，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理，證出四邊形ABEF為平行四邊形，得BE∥AF，再利用線面平行的判定定理即可證出BE∥面PAD；
（2）分別以DA、DB、DP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．可得B、C、P、E各點的坐標(biāo)，從而算出向量

DB

、

BE

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方程算出

n

=（1，-1，

2

）為平面BDE的一個法向量，結(jié)合平面ABCD的一個法向量為

m

=（0，0，1），利用空間向量的夾角公式即可算出二面角E-BD-C的大�。�

解答：解：（1）取PD的中點F，連結(jié)EF、AF，
∵E為PC中點，∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，
四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD．
（2）分別以DA、DB、DP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
可得B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，

2

），E（0，1，

2

2

）
∴

DB

=（1，1，0），

BE

=（-1，0，

2

2

）
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BDE的一個法向量，則

n • DB =x+y=0 n • BE =-x+ 2 2 z=0

取x=1，得y=-1，z=

2

，

n

=（1，-1，

2

）
∵平面ABCD的一個法向量為

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

2

2

，可得＜

m

，

n

＞=45°
因此，二面角E-BD-C的大小為45°．

點評：本題在四棱錐中證明線面平行，并且求二面角的大�。�著重考查了線面平行判定定理、利用空間向量的方法研究平面與平面所成角大小等知識，屬于中檔題．