Question

在數(shù)列中，，且.

(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；

(Ⅱ)設(shè)，求證：對任意的自然數(shù)都有.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ)

所以

所以只需要證明

（顯然成立）

所以對任意的自然數(shù)，都有

【解析】

試題分析：（1）容易求得：，           （1分）

故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立， 2分）

假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即

，（3分）

那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：

（5分）

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對,成立。

（2）

所以

 

所以只需要證明

（顯然成立）

所以對任意的自然數(shù)，都有-------（12分）

考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的證明及數(shù)列求和

點(diǎn)評：本題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式，數(shù)學(xué)歸納法用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，第一步先證明n取最小值時(shí)成立，第二步假設(shè)時(shí)命題成立，借此來證明時(shí)命題成立，綜上一二兩步可得命題成立