Question

（本小題滿分14分）如圖，已知四棱錐的底面是矩形，、分別是、的中點(diǎn)，底面，，
（1）求證：平面
（2）求二面角的余弦值

Answer 1

（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則依題意可知相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：，，，，如下圖所示．……………………………………………………………………………（2分）

所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
…………………………………………（3分）
所以，，......................... （4分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408231854065781009.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．......................... （6分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408231854066401230.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以.............. （7分）
所以平面．.......................................................... （8分）
（2）設(shè)平面的法向量，則，........................ （9分）

所以
即............................................................. （10分）
所以
令，則
顯然，就是平面的法向量．.................................. （11分）
所以.................... （12分）
由圖形知，二面角是鈍角二面角........................................ （13分）
所以二面角的余弦值為．......................................... （14分）

解：（1）取的中點(diǎn)，連接，則
，又，所以四點(diǎn)共面.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823185407966344.gif" style="vertical-align:middle;" />，且.......... （2分）]
所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823185408076472.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面..................... （4分）
所以
所以平面................... （6分）
易證
所以平面．.................. （8分）
（2）連接，則
所以.............................................................. （9分）
同（1）可證明平面.
所以，且平面平面.
明顯，所以........................................... （10分）
過作，垂足為，則平面.
連接，則......................................................... （11分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823185408684442.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面，
為二面角平面角的補(bǔ)角. ....................................... （12分）
在中，，所以.
在中，
所以........................................................... （13分）
所以二面角的余弦值為．......................................... （14分）

略