Question

已知a_n=

12+22+32+…+n2

(n+1)n

n∈N*求證：a_n＜1．

Answer 1

分析：首先分析題目已知a_n=

12+22+32+…+n2

(n+1)n

求證：a_n＜1．考慮到可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求解，首先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，推得當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．即得證．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

2

＜1，不等式成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，即a_k=

12+22+32+…+k2

(k+1)k

＜1
亦即1+2²+3²+…+k²＜（k+1）k
當(dāng)n=k+1時(shí)：a_k+1=

12+22+32+…+k2+(k+1)2

[(k+1)+1]k+1

＜

(k+1)k+(k+1)k+1

(k+2)k+1

=

(k+1)k+(k+2)

(k+2)k+1

=（

k+1

k+2

）^k＜1．
所以n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由（1）、（2）知，對(duì)一切n∈N^*，不等式都成立．
即a_n＜1得證．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查由數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法在高考中屬于重要的考點(diǎn)，應(yīng)用廣泛，需要同學(xué)們靈活掌握．