已知點(diǎn)M（1，-1）與點(diǎn)N（-1，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足：直線MP與NP的斜率之積等于-
1
3
．設(shè)直線MP與NP分別與直線x=3相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P使得△PMN與△PAB的面積相等，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是多少？
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：根據(jù)點(diǎn)M（1，-1）與點(diǎn)N（-1，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足：直線MP與NP的斜率之積等于-
1
3
，得到關(guān)系式，化簡(jiǎn)后即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，再假設(shè)存在，由面積公式得：
1
2
|PA||PB|sin∠APB=
1
2
|PM||PN|sin∠MPN，根據(jù)角相等消去三角函數(shù)得比例式，最后得到關(guān)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的方程，解之即得．
解答： 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）
∵點(diǎn)M（1，-1）與點(diǎn)N（-1，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足：直線MP與NP的斜率之積等于-
1
3
，
∴
y-1
x+1
•
y+1
x-1
=-
1
3
，
化簡(jiǎn)得x2+3y2=4（x≠±1）．
即動(dòng)點(diǎn)P軌跡方程為x2+3y2=4（x≠±1）
若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0）
則
1
2
|PA||PB|sin∠APB=
1
2
|PM||PN|sin∠MPN
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴
|PA|
|PM|
=
|PN|
|PB|

∴
|x0+1|
|3-x0|
=
|3-x0|
|x0-1|

即（3-x0）2=|x02-1|，解得x0=
5
3

∵x02+3y02=4，∴y0=±
33
9
．
故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（
5
3
，±
33
9
）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程、三角形中的幾何計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三個(gè)正數(shù)a，b，c，滿足b＜a+c≤2b，a＜b+c≤2a，則
a
b
的取值范圍是（　�。�
A、（
2
3
，
3
2
）
B、（
1
3
，
2
3
）
C、（0，
3
2
）
D、（
2
3
，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：x2-
y2
2
=1，過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）求弦長(zhǎng)|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線L：y=kx+1與橢圓C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若k=1，且四邊形OAPB為矩形，求a的值；
（2）若a=2，當(dāng)k變化時(shí)（k∈R），求點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，短軸長(zhǎng)為2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從定點(diǎn)M（0，2）任作直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，記線段AB的中點(diǎn)為P，試求點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=
2
2
，A，B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ
OB
，（其中實(shí)數(shù)λ為常數(shù)）．問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)A在x軸上的射影為C，連接BC并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D．證明：AB⊥AD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓M的中心原點(diǎn)O，點(diǎn)F（-1，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線L過(guò)點(diǎn)F與橢圓M交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，
OP
•
OQ
=
1
2
．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)A、B、C是橢圓M上的不同三點(diǎn)，且
OA
+
OB
+
OC
=0，證明直線AB與OC的斜率之積為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，2），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
（2）設(shè)直線l：x+y+3=0，求曲線C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，過(guò)F斜率為
3
的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線AO與l相交于D，若|AF|＞|BF|，則
|BD|
|OF|
=
 
．

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