Question

（理）設(shè)雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為e，若準(zhǔn)線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，△FPQ為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為求雙曲線c的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)雙曲線方程可知，雙曲線C的右準(zhǔn)線l的方程為：x=，兩條漸近線方程為：，從而可得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)△PFQ為等邊三角形，則有，從而可建立方程，利用c²-a²=b²，即可求得雙曲線C的離心率e的值；
（2）由（1）得雙曲線C的方程為．把代入得．
利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，可求弦長(zhǎng)，利用雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為，建立方程，可求a²的值，從而得到雙曲線C的方程．
解答：解：（1）雙曲線C的右準(zhǔn)線l的方程為：x=，兩條漸近線方程為：．
∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，、，．
設(shè)M為PQ與x軸的交點(diǎn)
∵△PFQ為等邊三角形，則有（如圖）．
∴，即．
解得 ，c=2a．
∴．
（2）由（1）得雙曲線C的方程為．直線方程為
把代入得．
依題意
∴a²＜6，且a²≠3．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴，
∴雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為=
∵．
∴．
整理得 13a⁴-77a²+102=0．
∴a²=2或．
∴雙曲線C的方程為：或 ．
點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線的性質(zhì)為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)