Question

證明：任何一個正的既約真分?jǐn)?shù)m／n可以表示成兩兩互異的自然數(shù)的倒數(shù)之和．

Answer 1

證明：對m用數(shù)學(xué)歸納法．

m＝1時，顯然成立．假設(shè)對小于m的自然數(shù)命題成立，我們證明它對m＞1也成立．為此，設(shè)

n＝qm＋r(0≤r＜m)                                          (1)

因為m／n是正的既約真分?jǐn)?shù)，所以q＞0，r＞0．

又因0＜m－r＜m，所以由歸納假設(shè)，

其中t₁＜t₂＜…＜t_k為自然數(shù)．

因為n＞m，所以由(3)知：t₁＞q＋1，將(3)代入(2)得

所以，命題對任何自然數(shù)m都成立．