Question

如圖，已知曲線C：，．從C上的點Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點P_n，再從點P_n作y軸的垂線，交C于點Q_n+1（x_n+1，y_n+1），設(shè)x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（Ⅰ）求Q₁，Q₂的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）記數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為S_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），知點P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n+1），由此能求出點Q₁、Q₂的坐標(biāo)；
（II）由Q_n，Q_n+1在曲線C上，知，，由P_n在曲線C_n上，知，由此能求出數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（III）由x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1==2-2^1-n，知a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）===，由此入手能夠證明s_n＜．
解答：（I）解：∵Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），
∴點P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n+1）
∵x₁=1∴y₁=1，∴Q₁（x₁，y₁）即Q₁（1，1）
，令x=1則y₂=
∴P₁的坐標(biāo)為（x₁，y₂）即（1，）
令=得x₂=
∴Q₂（x₂，y₂）即Q₁（，）．-----------------------------------（2分）
（II）解：∵Q_n，Q_n+1在曲線C上，
∴，，
又∵P_n在曲線C_n上，
∴，--------------------------------（4分）
∴x_n+1=x_n+2^-n，
∴a_n=2^-n．-----------------------------------------（6分）
（III）證明：x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁
=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1
=
=2-2^1-n．-------------------（9分）
∴a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）===，
∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，
∴．--------------------------------（12分）
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
-----------------------（14分）
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的求和公式和數(shù)列與不等式的綜合，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算的能力，屬于難題．