Question

已知數(shù)列{a_n},{b_n}滿足:a₁=1,a₂=k(k為常數(shù)且k≠0)，且b_n=a_n·a_n+1,n∈N₊.

(1)若{a_n}是等比數(shù)列，試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式；

（2）若{b_n}是等比數(shù)列，探求數(shù)列{a_n}是否為等比數(shù)列,并說明理由.

Answer 1

解析：（1）因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列,a₁=1,a₂=k,所以k≠0,a_n=k^n-1.又b_n=a_n·a_n+1,所以b₁=a₁·a₂=k,，即{b_n}是以k為首項(xiàng)，k²為公比的等比數(shù)列，所以Sn=

（2）設(shè){b_n}的公比為q,則又a₁=1,a₂=k(k≠0)，所以a₁,a₃,a₅,…,a_2n-1,…是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，a₂,a₄,a₆,…,a_2n,…是以k為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，即{a_n}為1，k,q,kq,q²,kq²,…,q^n-1,kq^n-1,….當(dāng)，即k²=q時(shí)，{a_n}為等比數(shù)列，當(dāng)q≠k²時(shí)，{a_n}不為等比數(shù)列.