Question

已知集合A={x|y=

-x2-2x+3

}，B={a|?x∈[1，2]，x²-4ax+1≥0}，則A∩B=

{x|-3≤x≤

1

2

}

．

Answer 1

分析：集合A={x|y=

-x2-2x+3

}={x|-3≤x≤1}，由B={a|?x∈[1，2]，x²-4ax+1≥0}，設y=x²-4ax+1，它是開口向上，對稱軸為x=2a的拋物線，當2a≥2時，y_min=f（2）=4-8a+1≥0，無解．當1≤2a＜2時，y_min=f（2a）=4a²-8a²+1≥0，a=

1

2

．當2a＜1時，a＜ 

1

2

．綜上所述，a≤

1

2

．由此能求出A∩B．

解答：解：∵集合A={x|y=

-x2-2x+3

}
={x|-x²-2x+3≥0}
={x|x²+2x-3≤0}
={x|-3≤x≤1}，
∵B={a|?x∈[1，2]，x²-4ax+1≥0}，
∴設y=x²-4ax+1，它是開口向上，對稱軸為x=2a的拋物線，
①當2a≥2時，y_min=f（2）=4-8a+1≥0，
解得a≤ 

5

8

，
∴無解．
②當1≤2a＜2時，y_min=f（2a）=4a²-8a²+1≥0，
解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
∴a=

1

2

．
③當2a＜1時，
y_min=f（1）=1-4a+1≥0，
解得a≤ 

1

2

．
∴a＜ 

1

2

綜上所述，a≤

1

2

．
∴B={a|a≤

1

2

}，
∴A∩B={x|-3≤x≤

1

2

}．
故答案為：{x|-3≤x≤

1

2

}．

點評：本題考查集合的交集及其運算，具有一定的難度．解題時要認真審題，合理轉化，注意分類討論思想的靈活運用．