Question

已知函數(shù) f(x)=

1

2

x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（Ⅰ）若函數(shù) f（x）在x=2處有極值，求m 的值；
（Ⅱ）當(dāng) m≤0時，討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）求證：當(dāng) m=-2時，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x=2是函數(shù)的一個極值點，可得到x=2是f′（x）=0的根，從而求出m；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），分類討論m，判斷f'（x）的符號，進而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng) m=-2時，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，要證明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，
即證明f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂，即證f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
故我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x，通過討論輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x的單調(diào)性證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=x-

m

x

+m-1
∵函數(shù) f（x）在x=2處有極值∴f′(2)=2-

m

2

+m-1=0
∴m=-2，經(jīng)檢驗m=-2符合題意．∴m=-2．
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

m

x

+m-1=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴（1）當(dāng)-1＜m≤0時，若x∈（0，-m）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-m，1）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)m=-1時，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（3）當(dāng)m＜-1即-m＞1時，x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，-m）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-m，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（Ⅲ）當(dāng)m=-2時，函數(shù)f（x）=

1

2

x2+2lnx-3x．
構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x，并求導(dǎo)得
g'（x）=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

∴g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴對任意0＜x₁＜x₂，都有g(shù)（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．