Question

已知函數(shù)f（x）=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2x-1，x∈[ 1 2 ，2)

，若存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）的取值范圍是（　　）

• A、[

  2 -1

  4

  ，

  1

  2

  )
• B、[

  1

  2

  ，1)
• C、[

  2

  4

  ，1)
• D、[

  2- 2

  4

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：先作出函數(shù)圖象然后根據(jù)圖象，根據(jù)f（x₁）=f（x₂），確定x₁的取值范圍然后再根據(jù)x₁f（x₂）=x₁f（x₁），轉化為求在x₁的取值范圍即可．

解答：解：作出函數(shù)的圖象：
∵存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜

1

2

，
∵x+

1

2

在[0，

1

2

）上的最小值為

1

2

；
2^x-1在[

1

2

，2）的最小值為

2

2

，
∴x₁+

1

2

≥

2

2

，x₁≥

2 -1

2

，
∴

2 -1

2

≤x₁＜

1

2

．
∵f（x₁）=x₁+

1

2

，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=

x

2 1

+

1

2

x1，
設y=

x

2 1

+

1

2

x1，（

2 -1

2

≤x₁＜

1

2

），
則對應拋物線的對稱軸為x=-

1

4

，
∴y=

x

2 1

+

1

2

x1，在區(qū)間[

2 -1

2

，

1

2

）上遞增，
∴當x=

1

2

時，y=

1

2

，
當x=

2 -1

2

時，y=

2- 2

4

，
即x₁f（x₂）的取值范圍為[

2- 2

4

，

1

2

）．
故選：D．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的應用，以及函數(shù)零點和方程之間的關系，利用二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵，綜合性強，難度較大．