Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-x，h(x)=

lnx

x

．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若關(guān)于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求h（x）的最大值；
（2）xf（x）≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，等價(jià)于xlnx-x²≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="uohuqgg" class="MathJye">h(x)=

lnx

x

，(x＞0)，所以h′(x)=

1-lnx

x2

，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，e]，單調(diào)減區(qū)間是[e，+∞），
所以當(dāng)x=e時(shí)，h（x）取得最大值

1

e

；…（6分）
（2）因?yàn)閤f（x）≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x²≥-2x²+ax-12對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即a≤lnx+x+

12

x

對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
設(shè)?(x)=lnx+x+

12

x

，因?yàn)?span id="cjrgmnh" class="MathJye">?′(x)=

x2+x-12

x2

=

(x-3)(x+4)

x2

，
故?（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，?（x）_min=?（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．