Question

1．一個三棱錐的底面是等邊三角形，各側(cè)棱長均為$\sqrt{3}$，那么該三棱錐的體積最大時，它的高為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 三棱錐P-ABC中，設(shè)底面邊長為a，求出高，可得體積，換元，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，三棱錐P-ABC中，設(shè)底面邊長為a，
則高$h=\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}-{{（\frac{2}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}a）}^2}}=\sqrt{3-\frac{1}{3}{a^2}}$．
所以它的體積$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•h=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}•\sqrt{3-\frac{1}{3}{a^2}}=\frac{1}{12}\sqrt{9{a^4}-{a^6}}$，
設(shè)y=-a⁶+9a⁴（a＞0），
令t=a²（t＞0）則y=-t³+9t²，y'=-3t²+18t=-3t（t-6），
所以函數(shù)y在（0，6）上單調(diào)遞增，在（6，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t=6時y最大，V也最大，此時$h=\sqrt{3-\frac{1}{3}×6}=1$，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，確定三棱錐體積的表達(dá)式是關(guān)鍵．