Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-alnx與g（x）=x-a

x

的圖象分別交直線x=1于點(diǎn)A，B，且曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線與曲線y=g（x）在點(diǎn)B處的切線平行．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的最小值；
（3）若不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)的圖象交直線x=1且曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線與曲線y=g（x）在點(diǎn)B處的切線平行，得到x=1時(shí)，兩導(dǎo)函數(shù)的值相等，即可列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把a(bǔ)的值代入即可確定出f（x）和g（x）的表達(dá)式；
（2）把（1）中確定出的f（x）和g（x）代入即可確定出h（x），求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)及平方根得到x大于0，然后分x大于0小于1和x大于1兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)h（x）的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到h（x）的最小值；
（3）由x的范圍，得到g（x）小于0，f（x）大于1，所以當(dāng)m大于等于0時(shí)，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立；當(dāng)m小于0時(shí)，求出mg（x）的最大值為-m，不等式要恒成立，即要-m小于等于1，即可求出此時(shí)m的范圍，綜上，得到不等式恒成立時(shí)m的范圍．

解答：解：（1）由f（x）═x²-alnx得：f′（x）=

2x2-a

x

，由g（x）=x-a

x

得：g′（x）=

2 x -a

2 x

．
又由題意可得f′（1）=g′（1），即2-a=

2-a

2

，
故a=2，所以f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x²-x-2lnx+2

x

得：
h′（x）=2x-1-

2

x

+

1

x

=

( x -1)[2( x +1)(x+1)- x ]

x

，
由x＞0可知：2（

x

+1）（x+1）-

x

＞0．
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
所以函數(shù)h（x）的最小值為h（1）=1²-1-2ln1+2

1

=2；
（3）當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，g（x）=x-2

x

=(

x

-1)2-1＜0，而f（x）=x²-2lnx≥1，
當(dāng)m≥0時(shí)，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立．
當(dāng)m＜0時(shí)，m•g（x）的最大值為m•g（1）=-m，
故要使f（x）≥m•g（x）恒成立，則必需-m≤1，即m≥-1．
事實(shí)上，當(dāng)x=1時(shí)，m=-1．故可知此時(shí)-1≤m＜0．
綜上可知當(dāng)m≥-1時(shí)，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握不等式恒成立時(shí)滿足的條件及導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，是一道中檔題．