Question

設P，Q是復平面上的點集，，Q={ω|ω=2iz，z∈P}
（1）P，Q分別表示什么曲線？（2）設z₁∈P，z₂∈Q，求|z₁-z₂|的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設復數z=x+yi（x，y∈R），代入，整理即可求得點P的軌跡方程，設出復數ω=x+yi（x，y∈R），z=x+yi∈P（x，y∈R）且ω=2iz，
代入點P的軌跡方程，即可求得Q的軌跡方程，從而求得結果；
（2）根據（1）可知，集合P，Q是兩個圓，）|z₁-z₂|表示分別在圓P，Q上的兩個動點間的距離，即可求得結果．
解答：解：（1）設z=x+yi（x，y∈R），
則集合P{（x，y）|x²+y²-6y+5=0}={（x，y）|x²+（y-3）²=4}，
故P表示以（0，3）為圓心，2為半徑的圓；                         
設ω=x+yi（x，y∈R），z=x+yi∈P（x，y∈R）且ω=2iz，
則
將代入x²+（y-3）²=4得（x+6）²+y²=16，
故Q表示以（-6，0）為圓心，4為半徑的圓；                       
（2）|z₁-z₂|表示分別在圓P，Q上的兩個動點間的距離，又圓心距|PQ|=3＞2+4，
故|z₁-z₂|最大值為6+3，最小值為3-6．
點評：本題考查復數的代數表示和幾何意義，體現了轉化的數學思想，以及代入法求軌跡方程，屬中檔題．