Question

（1）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2，ρ²-2

2

ρcos（θ-

π

4

）=2．
（Ⅰ）把圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．
（2）選修4-5：不等式選講，設(shè)x+2y+3z=3，求4x²+5y²+6z²的最小值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）由圓O₁極坐標(biāo)方程為ρ=2，圓O₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-2

2

ρcos（θ-

π

4

）=2，能求出圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由圓O₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，圓O₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-2y-2=0，知經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0．由此能求出經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．
（2）將待求式中的各項(xiàng)變這完全平方數(shù)的形式，利用柯西不等式建立關(guān)于待求式的不等式后求最值，應(yīng)該注意構(gòu)造出x+2y+3z．

解答：解：（1）（Ⅰ）∵圓O₁極坐標(biāo)方程為ρ=2，
∴ρ²=4，
∴圓O₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4．
∵圓O₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-2

2

ρcos（θ-

π

4

）=2，
∴ρ²-2

2

ρ（cosθcos

π

4

+sinθsin

π

4

）=2，
即ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=2，
∴圓O₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-2y-2=0．
（Ⅱ）∵圓O₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，
圓O₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-2y-2=0，
∴經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為：
x+y-1=0．
∴經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ-1=0．
（2）∵4x²+5y²+6z²=（2x）²+（

5

y）²+（

6

z）²，
∴由柯西不等式，知
[（2x）²+（

5

y）²+（

6

z）²]•[（

1

2

）²+（

2

5

）²+（

3

6

）²]
≥（2x•

1

2

+

5

y•

2

5

+

6

z•

3

6

）²
=（x+2y+3z）²=9．
即（4x²+5y²+6z²）（

1

4

+

4

5

+

3

2

）≥9，
∴4x²+5y²+6z²≥

20

51

×9=

60

17

．
當(dāng)且僅當(dāng)

x+2y+3z=3 2x 1 2 = 5 y 2 5 = 6 z 3 6

，
即x=

5

17

，y=

8

17

，z=

10

17

時(shí)，等號(hào)成立，
∴4x²+5y²+6z²的最小值為

60

17

．

點(diǎn)評(píng)：第（1）考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，第（2）題考查柯西不等式的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．