Question

10．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}滿足：S_n²=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b_n=$\frac{{2+{a_n}}}{{{2^{2+{a_n}}}{S_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系，令n=1，2，解出a₁，a₂，可得公差d，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（  I ）∵${S_n}^2={a_1}^3+{a_2}^3+{a_3}^3+…+{a_n}^3$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{S_1}^2={a_1}^3}\\{{S_2}^2={a_1}^3+{a_2}^3}\end{array}}\right.$，
∵{a_n}為正項(xiàng)等差數(shù)列，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{{a_2}=2}\end{array}}\right.$，
則d=1，所以a_n=1+（n-1）1=n；
（ II）${b_n}=\frac{{2+{a_n}}}{{{2^{2+{a_n}}}{S_n}}}=\frac{2+n}{{{2^{2+n}}\frac{n（n+1）}{2}}}=\frac{2+n}{{{2^{n+1}}n（n+1）}}=\frac{1}{{{2^n}n}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}（n+1）}}$${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{24}-\frac{1}{32}+…+\frac{1}{{{2^n}n}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}（n+1）}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}（n+1）}}$
即${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}（n+1）}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．