已知函數(shù)f（x）=2x3-3ax2+1．
（1）若x=1為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（1）∵f（x）=2x3-3ax2+1，∴f'（x）=6x2-6ax．依題意得f'（1）=6-6a=0，解得a=1．
所以f（x）=2x3-3x2+1，f'（x）=6x（x-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=1．列表如下：
x （-∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（0）=1；
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（1）=0．
（2）∵f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），
∴①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=6x2≥0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=6x（x-a），f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：
x （-∞，0） 0 （0，a） a （a，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由上表可知，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
③同理可得，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，a）和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，0）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域?yàn)椋╝，b）時(shí)，值域?yàn)椋╩a，mb），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2+log0.5x（x＞1），則f（x）的反函數(shù)是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2（m-1）x2-4mx+2m-1
（1）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)，求m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•上海）已知函數(shù)f（x）=2-|x|，無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5，若函數(shù)f（x）的最小值為m
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案