Question

對于函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

，下列結論正確的是

 

．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=0；
②?m∈（0，1）使得方程|f（x）|=m有兩個不等的實數(shù)解；
③?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點；
④?x₁，x₂，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析命題：將-x代替x求出f（-x），判斷出 ①對；通過分離參數(shù)，判斷出f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性及值域判斷出②對；通過另g（x）=0，分離出k，求出k的范圍，判斷出③錯；通過對①②的推導過程得到f（x）在R上單調(diào)，判斷出④對，即可得答案．

解答：解：對于①，f(-x)=

-x

1+|x|

∴f（-x）+f（x）=0，故①對；
②，∵函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的在R上單調(diào)遞增，且值域為（-1，1）
∴函數(shù)y=|f（x）|在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域為[0，1）
∴?m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有兩個不等實數(shù)根，故（2）正確；
對于③，令g（x）=0即f（x）-kx=0即k=

1

1+|x|

≤1，所以當k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上無零點，故③錯．
對于④，由①知f（x）是奇函數(shù)，由②的推導知，f（x）在R上單調(diào)遞增，所以?x₁，x₂，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）
故④對．
故答案為：①②④

點評：本題考查判斷函數(shù)零點的個數(shù)常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、對于含絕對值的函數(shù)的處理方法常利用絕對值的意義去掉絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理．