Question

(本小題滿分12分)
過(guò)點(diǎn)P（1，4）作直線L，直線L與x,y的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn),
①△ABO的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程；
②當(dāng)|OA|+|OB|最小時(shí)，求此時(shí)直線L的方程

Answer 1

解：依題意可設(shè)直線l的方程為:(a>0 , b>0 )
則A(a , 0 ), B(0,b ), 直線L過(guò)點(diǎn)P（1，4）, ∴ , ……………2分
又a>0 , b>0
∴
………………4分
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào), S的最小值為8
此時(shí)直線方程為：，即：4x + y - 8＝0…………………6分
②|OA|+|OB|=" a" + b =" (a" + b )()="5" + ……8分
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào), ……10分
|OA|+|OB|的值最小, 此時(shí)直線方程為：即：2x + y - 6＝0……12分
法二：①依題意可設(shè)直線l的方程為:y-4 =" k" ( x -1 ) ( k<0 )
令 x =" 0" , 則y =" 4" – k ,B( 0 , 4-k) ;令 y =" 0" , 則x =+1 ,A (+1, 0)…2分
S =(4-k)( +1)= (- k + 8 )≥8 ，…………4分
當(dāng)且僅當(dāng)-16/k = -k時(shí)，即 k = -4時(shí)取等號(hào), S的最小值為8 ，
此時(shí)直線方程為：y-4 =" -4(" x -1 )，即：4x + y - 8＝0…………6分
②|OA|+|OB|="(" +1) + (4-k) = -k + 5 ≥4 + 5 ="9" ，……8分
當(dāng)且僅當(dāng)= -k時(shí)，即 k = -2時(shí)取等號(hào), |OA|+|OB|的值最小, ……………10分
此時(shí)直線方程為：:y-4 =" -2" ( x -1 ) 即：2x + y - 6＝0……………12分

略