Question

對(duì)于如下四個(gè)函數(shù)：①f(x)=

1

x

，②f（x）=|x|，③f（x）=2，④f（x）=x²．
其中滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函數(shù)為

①③

．

Answer 1

分析：把4個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)分別代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分別驗(yàn)證是否成立即可得到答案．

解答：解：在區(qū)間（1，2）上的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），分別驗(yàn)證下列4個(gè)函數(shù)．
對(duì)于①：f(x)=

1

x

f（x）=，|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

x2

-

1

x1

|=|

x1-x2

x1x2

|＜|x₂-x₁|（因?yàn)閤₁，x₂在區(qū)間（1，2）上，故x₁x₂大于1）故成立．
對(duì)于②：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|，故不成立．
對(duì)于③：f（x）=2，|f（x₂）-f（x₁）|=0，∵x₁≠x₂，∴0＜|x₂-x₁|，故成立．
對(duì)于④：f（x）=x²，|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=（x₂+x₁）|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|，故不成立．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用問(wèn)題．對(duì)于此類型的題目需要對(duì)題目選項(xiàng)一個(gè)一個(gè)做分析，然后用排除法作答即可，屬于中檔題．