Question

2．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A=60°，b=2，c=3，則$\frac{sin2C}{sinB}$的值為$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可解得a，cosC的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求sinC，由正弦定理可得sinB的值，從而利用二倍角的正弦函數(shù)公式即可求值得解．

解答 解：∵A=60°，b=2，c=3，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=4+9-2×$2×3×\frac{1}{2}$=7，解得：a=$\sqrt{7}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{7+4-9}{2×\sqrt{7}×2}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，解得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴$\frac{sin2C}{sinB}$=$\frac{2sinCcosC}{sinB}$=$\frac{2×\frac{3\sqrt{21}}{14}×\frac{\sqrt{7}}{14}}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式的應用，考查了計算能力，熟練掌握相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．