Question

（1）已知定點、，動點N滿足（O為坐標原點），，，，求點P的軌跡方程.

如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（ⅰ）設直線的斜率分別為、，求證：為定值；

（ⅱ）當點運動時，以為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．

 

Answer 1

（1）；（2），以為直徑的圓恒過定點或.

【解析】

試題分析：本題主要考查雙曲線的定義、標準方程，橢圓的標準方程等基礎知識，考查數(shù)形結合思想，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，利用得到N是的中點，數(shù)形結合，利用得M、P、共線，在三角形中，利用中位線得，利用得到F1M⊥PN，在三角形中，中點和高的垂足重合，得|PM|=|PF1|，由雙曲線的定義可知點P的軌跡為雙曲線，（ⅰ）利用橢圓的標準方程得到點A、B的坐標，設出點P的坐標，從而求出和，利用點P在橢圓上進行的轉化，計算出結果為常數(shù)即可，（ⅱ）設出點Q的坐標，根據(jù)已知條件求出點M、N的坐標，寫出坐標，利用，列出等式，求出定點坐標.

試題解析：（1）連接ON∵ ∴點N是MF1中點 ∴|MF2|=2|NO|=2

∵ ∴F1M⊥PN ∴|PM|=|PF1|

∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2＜|F1F2|

由雙曲線的定義可知：點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線.

點P的軌跡方程是 4分

（2）（ⅰ），，令，則由題設可知，

直線的斜率，的斜率，

又點在橢圓上，所以（），

從而有. 8分

（ⅱ）設點是以為直徑的圓上任意一點，則，又易求

得、.

所以、.

故有.又，化簡后得到以

為直徑的圓的方程為. 11分

令，解得或. 13分

所以以為直徑的圓恒過定點或. 14分

考點：雙曲線的定義、標準方程，橢圓的標準方程.