已知正方體ABCD-A1B1C1D1,O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).求證:
(1)C1O∥面A1B1D1;
(2)A1C⊥面AB1D1;
(3)求直線AC與平面AB1D1所成角的正切值.

【答案】分析:(1)連接A1C1,根據(jù)正方體的幾何特征,我們可以得到O1C1OA是平行四邊形,即C1O∥AO1,結(jié)合線面平行的判定定理,即可得到C1O∥面A1B1D1;
(2)由正方體的幾何特征,我們可根據(jù)CC1⊥平面A1B1C1D1,得到B1D1⊥A1C,同理可證AB1⊥A1C,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理得到A1C⊥面AB1D1;
(3)直線AC與平面AB1D1所成的角實(shí)際上就是正四面體ACB1D1的一條棱與一個(gè)面所成的角,結(jié)合正四面體的幾何特征,易求出直線AC與平面AB1D1所成角的正切值.
解答:證明:(1)連接A1C1,設(shè)A1C1∩B1D1=O1,
連接AO1,∵ABCD-A1B1C1D是正方體
∴A1ACC1是平行四邊形
∴A1C1∥AC且A1C1=AC(2分)
又∵O1,O分別是A1C1,AC的中點(diǎn),
∴O1C1∥AO且O1C1=AO
∴O1C1OA是平行四邊形
∴C1O∥AO1,AO1?平面A1B1D1,C1O?平面A1B1D1,
∴C1O∥面A1B1D1;

(2)∵CC1⊥平面A1B1C1D1
∴CC1⊥B1D1,
又∵A1C1⊥B1D1,
∴B1D1⊥平面A1C1C
即B1D1⊥A1C,
同理可證AB1⊥A1C,
又B1D1∩AB1=B1,
∴A1C⊥面AB1D1;
(3)直線AC與平面AB1D1所成的角實(shí)際上
就是正四面體ACB1D1的一條棱與一個(gè)面所成的角,
余弦值為,從而正切值為.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,其中(1)的關(guān)鍵是得到C1O∥AO1,(2)的關(guān)鍵是利用正方體的幾何特征得到B1D1⊥A1C,且AB1⊥A1C,(3)的關(guān)鍵是分析出直線AC與平面AB1D1所成的角實(shí)際上就是正四面體ACB1D1的一條棱與一個(gè)面所成的角.
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2
.求證:
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3
6
3
6

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