Question

已知直線l交橢圓

x2

20

+

y2

16

=1于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△ABC的重心，則直線l的方程為

6x+5y-8=0

．

Answer 1

分析：先由橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△ABC的重心，得相交弦BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)B、C在橢圓上，利用點(diǎn)差法，將中點(diǎn)坐標(biāo)代入即可的直線l的斜率，最后由直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程即可．

解答：解：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），橢圓

x2

20

+

y2

16

=1的右焦點(diǎn)為（2，0）
∵點(diǎn)A（0，4），且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△ABC的重心
∴

x1+x2+0

3

=2，

y1+y2+4

3

=0
∴x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4     ①
∵

x 12

20

+

y 12

16

=1，

x 22

20

+

y 22

16

=1
∴兩式相減得：

(x1+x2)(x1-x2)

20

+

(y1+y2)(y1-y2)

16

=0
將①代入得：

y1-y2

x1-x2

=

6

5

，即直線l的斜率為k=

6

5

∵直線l 過BC中點(diǎn)（3，-2）
∴直線l的方程為y+2=

6

5

（x-3）
故答案為6x-5y-28=0

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何意義，直線與橢圓的位置關(guān)系，特別注意當(dāng)已知相交弦中點(diǎn)時(shí)點(diǎn)差法的運(yùn)用，體會(huì)設(shè)而不求的解題思想