Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²。
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若a>1，h（x）=x³-3ax，x∈[1，2]，求h（x）的極小值；
（3）設(shè)F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個零點(diǎn)，m，n（0＜m＜n），且2x₀=m+n，證明：函數(shù)F（x）在點(diǎn)（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線不可能平行于x軸。

Answer 1

解：（1）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，
由題意，知g'（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，
即
又x>0，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
故，
所以。
（2）由（1）知，

由h'（x）=0，得或（舍去），
∴
∴
①若，則h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
②若，則h'（x）>0，h（x）單調(diào)遞增
故當(dāng)時，h（x）取得極小值，
極小值為。
（3）假設(shè)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線平行于x軸，
其中F（x）=2lnx-x²-kx
結(jié)合題意有，
①-②得
所以，
由④得
所以
設(shè)∈（0，1），⑤式變?yōu)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111212/201112121520048751101.gif">（u∈（0，1）），
設(shè)
 
所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，
因此，，即
也就是，，此式與⑤矛盾，
所以F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線不能平行于x軸。