Question

已知函數(shù)f（x）=，若存在實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）=x₀則稱x₀是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)不動點(diǎn)．
（I）證明：函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)不動點(diǎn)；
（II）已知a、b是y=f（x）的兩個(gè)不動點(diǎn)，且a＞b．當(dāng)x≠-≠時(shí)，比較與的大��；
（III）在數(shù)列{an}中，a₁≠-且a_n≠，a₁=1，等式a_n+1=f（a_n）對任何正整數(shù)n都成立，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

（I）證明：∵，
∴2x²-5x-3=0，
解得，x₂=3，經(jīng)過檢驗(yàn)，得，x₂=3是方程的解．
∴函數(shù)y=f（x）上有兩個(gè)不動點(diǎn)，它們是，x₂=3．…（3分）
（II）解：由（I）可知a=3，b=-，
==8×．
∴與相等．…（6分）
（III）解：∵且，
由（II）知=，
∴．…（8分）
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列．
即以-為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列．…（10分）
∴=-，
∴=．…（12分）
分析：（I）解方程，得，x₂=3，所以函數(shù)y=f（x）上有兩個(gè)不動點(diǎn)，x₂=3．
（II）由a=3，b=-，知==8×．所以與相等．
（III）且，故=，所以，由此能夠推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．