Question

若實數(shù)x，y滿足 x²+y²-2x-2y+1=0，則

x-2

y-4

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系,圓方程的綜合應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：方程即 （x-1）²+（y-1）²=1，表示一個以C（1，1）為圓心、半徑等于1的圓．

x-2

y-4

表示圓上的點（x y）與點A（2，4）連線的斜率k的倒數(shù)．求出圓的兩條切線方程，可得切線斜率k的范圍，可得k的倒數(shù)

x-2

y-4

的取值范圍．

解答： 解：x²+y²-2x-2y+1=0 即 （x-1）²+（y-1）²=1，表示一個以C（1，1）為圓心、半徑等于1的圓．
而

x-2

y-4

表示圓上的點（x y）與點A（2，4）連線的斜率k的倒數(shù)．
設(shè)圓的過點A的一條切線斜率為k，則切線的方程為 y-4=k（x-2），即 kx-y+4-2k=0．
由圓心到切線的距離等于半徑可得

|k-1+4-2k|

k2+1

=1，k=

4

3

．
另外圓還有一條切線為x=2，故切線的斜率k的范圍為[

4

3

，+∞），
故k的倒數(shù)

x-2

y-4

的取值范圍為（0，

3

4

]，
故答案為：（0，

3

4

]．

點評：本題主要考查圓的標準方程、直線的斜率公式、點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．