Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²+bn（b為常數），且對于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k構成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）根據S_n=n²+bn，利用a_n=S_n-S_n-1，結合對于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比數列，可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求和，根據T_n＜

3

13

，即可求得n最大值．

解答： 解：（1）∵a_n=S_n-S_n-1=n²+bn-（n-1）²-b（n-1）=2n+b-1，（n≥2）
∴當n=1時，a₁=s₁=1+b，
∴a_n=2n+b-1．
由a_k，a_2k，a_4k成等比數列可得：（4k+b-1）²=（2k+b-1）（8k+b-1）
化簡得：2k（b-1）=0，
∵對于任意的k∈N^*恒成立，
∴b=1，∴a_n=2n；
（2）

1

anan+1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

），
∴T_n＜

3

13

成立，即

1

4

（1-

1

n+1

）＜

3

13

，
∴n＜12，
∴使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值為11．

點評：本題重點考查數列的通項，考查裂項法求和，考查解不等式，解題的關鍵是利用a_n=S_n-S_n-1，求通項．