Question

已知f（x）=lnx-

a

x

．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，易得函數(shù)的定義域，將原函數(shù)分為兩部分，即y₁=lnx與y₂=-

a

x

，易得兩者均為增函數(shù)，進(jìn)而由單調(diào)性的性質(zhì)，可得f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）分析可得，f（x）＜x²恒成立等價(jià)于a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx-x³，對(duì)其求導(dǎo)，可以判斷其為減函數(shù)，進(jìn)而可得其最大值，另a大于其最大值可得答案；
（III）根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)的定義域分三種情況討論，分別求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求出最小值，令其等于

3

2

，可以解得a的值，分析取舍可得答案．

解答：解：（I）已知函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∝），
又有a＞0，則y₂=-

a

x

是增函數(shù)，
y₁=lnx與y₂=-

a

x

都是增函數(shù)，
故f（x）=lnx-

a

x

在定義域上是增函數(shù)．
（Ⅱ）由已知f（x）＜x²，即f（x）=lnx-

a

x

＜x²，在（1，+∞）上恒成立，
即a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立
令g（x）=xlnx-x³，則g′（x）=lnx-3x²+1，
又[g′（x）]'=

1

X

-6x＜0，在（1，+∞）上恒成立，
所以g′（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，故g′（x）＜g′（1）＜0，
因此g（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，
故a≥g（1），即a≥-1．（5分）
（III）分三種情況討論，
（1）令f′（x）≥0，在[1，e]上恒成立，x+a≥0，即a≥-x，
則a≥-1時(shí)．此時(shí)f（x）在[1，e]上為增函數(shù)．
f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
得a=-

3

2

，（舍去）
（2）令f′（x）≤0，在[1，e]上恒成立，有x+a≤0，即a≤-x，
則a≤-e時(shí)．此時(shí)f（x）在[1，e]上為減函數(shù)．
則f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，
得a=-

e

2

（舍去），
（3）當(dāng)-e＜x＜-1時(shí)，令f′（x）=0，得x₀=-a，
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，x₀）上為減函數(shù)，
當(dāng)x₀＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（x₀，e）上為增函數(shù)，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
解可得a=-

e

，
綜上可得，a=-

e

．（6分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)用，一般方法為先求導(dǎo)，再分析單調(diào)性，進(jìn)而分析可得函數(shù)的極值，比較可得函數(shù)的最值；注意有時(shí)需要對(duì)函數(shù)的極值或已知區(qū)間分情況討論．