Question

1．點A是圓x²+y²=r²（r＞0）上任意一點，AB⊥x軸，垂足為B，以A為圓心，|AB|為半徑的圓交已知圓于C，D兩點，連接CD交AB于M點，當點A在圓上運動時，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設點A的坐標為A（rcosα，rsinα），由以A為圓心、AB為半徑的圓的方程及已知圓x²+y²=r²的方程，求得公共弦CD的方程，再與AB的方程聯(lián)立得到點M的坐標為（2cosα，sinα），消去α，由此能求出點M的軌跡方程．

解答 解：設點A的坐標為A（rcosα，rsinα），則以A為圓心、AB為半徑的圓的方程為：
（x-rcosα）²+（y-rsinα）²=r²sin²α．
聯(lián)立已知圓x²+y²=r²的方程，相減，可得公共弦CD的方程為：
2xcosα+2ysinα=r（1+cos²α）．             （1）
而AB的方程是x=rcosα．          （2）
所以滿足（1）、（2）的點M的坐標為（rcosα，$\frac{r}{2}$sinα），消去α，即得
點M的軌跡方程為x²+4y²=r²．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓的相關知識，解題時要注意合理地利用參數(shù)進行等價轉化．