Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）寫出a₂，a₃的值，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中a₁=1，a_n+1=3S_n+1，代入可得a₂，a₃的值，進而n≥2時，a_n=3S_n-1+1，與已知式相減可得a_n+1=4a_n，即數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，可得通項公式；
（II）數(shù)列{na_n}的通項是一個等差數(shù)列和等比數(shù)列積的形式，應(yīng)選用錯位相減法，求其前n項和T_n．
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=3S_n+1，
a₂=4，a₃=16．…（2分）
由題意，a_n+1=3S_n+1，
則當(dāng)n≥2時，a_n=3S_n-1+1．
兩式相減，化簡得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（4分）
又因為a₁=1，a₂=4，，
則數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，
所以（n∈N^*）             …（6分）
（Ⅱ），
，…（8分）
兩式相減得，．…（12分）
化簡整理得，T_n=（n∈N^*）．…（13分）
點評：本題是數(shù)列問題比較經(jīng)典的考題，是高考試卷考查數(shù)列的常見題型，首先要根據(jù)定義法，迭代法、構(gòu)造數(shù)列法等求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項法，錯位相減法等求數(shù)列的前n項和．