Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，經(jīng)過F且斜率為k（k＞0的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的上方），與準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若|BC|=2|EF|，且|AF|=8，則P=________．

Answer 1

4
分析：題干錯誤：|BC|=2|EF|，應(yīng)該是：|BC|=2|BF|，請給修改，謝謝．
作輔助線如圖，則由拋物線的定義可得|BD|=|BF|，|AF|=|AE|=8，在直角三角形BCD中，求得sin∠BCD 的值，
可得∠BCD 的值，從而得到∠AFM 的值以及|AM|和|EM|的值，從而求得p的值．
解答：作BD⊥l，AE⊥l，F(xiàn)M⊥AE，則由拋物線的定義可得|BD|=|BF|，|AF|=|AE|=8，|BD|=BF|．
故在直角三角形BCD中，由|BC|=2|BF|，可得|BC|=2|ED|，
故有sin∠BCD==，∴∠BCD=，∴∠AFM=，
∴|AM|=4，|EM|=4，∴p=|EM|=4，
故答案為 4．
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的幾何性質(zhì)，過焦點(diǎn)的弦的弦長關(guān)系，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，
屬于中檔題．