Question

如圖所示，PA垂直矩形ABCD所在的平面，E、F分別為AB、PC的中點．
（Ⅰ） 求證EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證EF⊥CD．

Answer 1

【答案】分析：（I）取PD中點G，連接AG、FG，利用三角形中位線定理，我們易判斷四邊形AEFG是平行四邊形，AG∥EF，進而結合線面平行的判定定理，我們易得到EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由已知中PA垂直矩形ABCD所在的平面，我們易得到PA⊥CD，AD⊥CD，結合線面垂直的判定定理，我們易得CD⊥平面PAD，進而得到EF⊥CD．
解答：證明：（Ⅰ）取PD中點G，連接AG、FG，
因為EF分別為AB、PC的中點，
所以AE=AB，GF∥DC且GF=DC，（2分）
又在矩形ABCD中AB∥CD且AB=CD，
所以AE∥GF且AE=GF，
所以四邊形AEFG是平行四邊形，
所以AG∥EF且AG=EF（5分）
又，AG?平面PAD，EF?平面PAD．
所以EF∥平面PAD（7分）
（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD在，矩形ABCD中AD⊥CD
又PA∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD，（11分）
因為AG?平面PAD，
所以CD⊥AG，
因為AG∥EF
所以EF⊥CD（13分）
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握判定定理內容及解題步驟是解答此類問題的關鍵．