Question

一條光線經(jīng)過P（2，3）點(diǎn)，射在直線l：x+y+1=0上，反射后穿過Q（1，1）．
（1）求光線的入射方程；
（2）求這條光線從P到Q的長度．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)Q′（x′，y′）為Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)且QQ′交l于M點(diǎn)，可得直線QM的方程，與l聯(lián)立可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q′的坐標(biāo)．設(shè)入射線與l交于點(diǎn)N，利用P，N，Q′共線，得到入射光線PN的方程；
（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式求出PQ′即可．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)Q′（x′，y′）為Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)且QQ′交l于M點(diǎn)，由k_l=-1，得k_QQ′=1．
∴QQ′所在直線方程為y-1=1•（x-1）
即x-y=0．
由

x+y+1=0 x-y=0

解得l與QQ′的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(-

1

2

，-

1

2

)
又因?yàn)镸為QQ′的中點(diǎn)，由此得

1+x′ 2 =- 1 2 1+y′ 2 =- 1 2

解之得

x′=-2 y′=-2

．
∴Q′（-2，-2）．
設(shè)入射線與l交于點(diǎn)N，且P，N，Q′共線．
則P（2，3），Q′（-2，-2），
得入射線方程為

y+2

3+2

=

x+2

2+2

，即5x-4y+2=0．
（2）因?yàn)閘是QQ′的垂直平分線，因而NQ=NQ′．
所以PN+NQ=PN+NQ′=PQ′=

41

，
即這條光線從P到Q的長度是

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了入射光線與反射光線的問題、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線之間的斜率關(guān)系、；兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．