Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，D，E分別是AB，AC的中點，將△ADE沿著DE翻折成△A₁DE，使得平面A₁DE⊥平面DECB，F(xiàn)是A₁B上一點且A₁E∥平面FDC．
（1）求

A1F

FB

．
（2）求三棱錐D-A₁CF的體積．
（3）求A₁B與平面FDC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接EB交DC于O，連接FO，由線面平行的性質(zhì)定理可得A₁E∥FO，由三角形中位定理及相似三角形的性質(zhì)可得

A1F

FB

=

EO

OB

=

1

2

（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可得A₁D⊥平面DECB，代入棱錐體積公式可得三棱錐D-A₁CF的體積．
（3）以

DE

，

DB

，

DA1

為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．分別求出平面FDC的法向量和直線A₁B的方向向量，代入向量坐標(biāo)公式，可得答案．

解答：解：（1）連接EB交DC于O，連接FO．

A1E∥平面FDC A1E?平面BA1E 平面FDC∩平面BA1E=FO

⇒A1E∥FO．…（3分）
D，E分別是AB，AC的中點⇒

DE∥BC⇒△ODE∽△OCB DE= 1 2 BC

⇒

EO

OB

=

DE

CB

=

1

2

．
所以在△BA₁E中，

A1F

FB

=

EO

OB

=

1

2

．…（5分）

（2）

平面A1DE⊥平面DECB 平面A1DE∩平面DECB=DE A1D⊥DE

⇒A1D⊥平面DECB．VD-A1CF=VC-A1DF=

1

3

VC-A1DB=

1

3

VA1-DCB=

1

3

×(

1

3

×

2×2

2

×2)=

4

9

．…（10分）

（3）A₁D⊥平面DECB．又DE⊥DB．
以

DE

，

DB

，

DA1

為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則D（0，0，0），A₁（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，0）．…（7分）
設(shè)F（x，y，z）．因為

A1F

FB

=

1

2

．
所以

A1F

=

1

2

FB

，即(x，y，z-2)=

1

2

(-x，2-y，-z)，
所以F(0，

2

3

，

4

3

)．

DC

=(2，2，0)，

DF

=(0，

2

3

，

4

3

)．設(shè)平面FDC的法向量

n

=(x0，y0，z0)．
則

n • DC =0 n • DF =0

⇒

x0+y0=0 y0+2z0=0

，令z₀=1，則

n

=(2，-2，1)．又

A1B

=(0，2，-2)．
設(shè)A₁B與平面FDC所成角的大小為θ，則sinθ=|cos?

A1B

，

n

＞|=

| A1B • n |

| A1B || n |

=

2

2

．
因為θ∈[0，

π

2

]，所以A₁B與平面FDC所成角的大小

π

4

．…（15分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的性質(zhì)定理，三棱錐的體積，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間直線與平面的夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角是解答的關(guān)鍵．