Question

13．已知a、b為正實數(shù)，且a+2b=3ab，若a+b-c≥0對于滿足條件的a，b恒成立，則c的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$1+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$]
• B． $（-∞，\frac{3}{2}+\sqrt{2}]$
• C． （-∞，6]
• D． （-∞，$3+2\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用基本不等式可求出a+b的最小值（a+b）_min，要使a+b-c≥0對于滿足條件的a，b恒成立，只要值（a+b）_min-c≥0即可．

解答 解：a，b都是正實數(shù)，且a+2b=3ab，則$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$=3，滿足①，
則a+b=（a+b）•$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$）=$\frac{1}{3}$（3+$\frac{a}$+$\frac{2b}{a}$）≥$\frac{1}{3}$（3+2×$\sqrt{\frac{a}•\frac{2b}{a}}$）=1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{2b}{a}$時，即a=$\sqrt{2}$b②時，等號成立．
聯(lián)立①②解得a=$\frac{2+\sqrt{2}}{3}$，b=$\frac{\sqrt{2}+1}{3}$，故a+b的最小值為1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
要使a+b-c≥0恒成立，只要1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-c≥0，即c≤1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故c的取值范圍為（-∞，1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．
故選A．

點評 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件：一正、二定、三相等，以及函數(shù)的恒成立問題．